Решение систем линейных уравнений в Python

Пример 1. Система 2 уравнений

Рассмотрим простую систему из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными:

\begin{matrix} 2x+5y=1 &(1) \\ x-10y=3 &(2) \end{matrix}

Аналитическое решение

Система легко решается аналитически. Для этого достаточно выразить из уравнения (2) переменную x:

\begin{matrix} x=3 + 10y &(3) \end{matrix}

После чего подставить её в уравнение (1): \begin{matrix} 2\cdot(3 + 10y)+5y=1, \end{matrix} и решить получившееся линейное уравнение относительно переменной y: \begin{matrix} 25y+6=1 \ \end{matrix}

\begin{matrix} 25y=-5 \\ \end{matrix}\begin{matrix} y=-0.2 \end{matrix}

Полученное значение y можно подставить в выражение для x в уравнение (3): \begin{matrix} x=3 + 10\cdot (-0.2) \end{matrix} и получить значение переменной x: \begin{matrix} x=1 \end{matrix} Таким образом решением системы будет: (1; -0,2)

(1-е значение в ответе - x, 2-е - y)

Решение матричным методом (python numpy)

Запишем исходную систему уравнений в виде матрицы (левая часть) и вектора (правая часть): \begin{matrix} 2x+5y=1 \\ x-10y=3 \end{matrix}

Для этого выпишем по порядку все коэффициенты перед неизвестными в матрицу.

Коэффициент перед переменной х 1й строки на место в матрице с координатами 0,0. (2)

Коэффициент перед переменной y 1й строки на место в матрице с координатами 0,1. (5)

Коэффициент перед переменной х 2й строки на место в матрице с координатами 1,0. (1)

Коэффициент перед переменной y 2й строки на место в матрице с координатами 1,1. (-10)

\begin{pmatrix} 2& 5 \\ 1 & -10 \end{pmatrix}

Значение свободного члена (число, не умноженное ни на одну переменную системы) после знака равенства 1й строки на место 0 в векторе.

Значение свободного члена 2й строки на место 1 в векторе.

\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}

Для этого воспользуемся numpy массивами:

import numpy # импортируем библиотеку 

M1 = numpy.array([[2., 5.], [1., -10.]]) # Матрица (левая часть системы)
v1 = numpy.array([1., 3.]) # Вектор (правая часть системы)
#Запишем все числа с точкой, т.к. иначе в Python 2 они будут участвовать в целочисленных операциях (остатки от деления будут отбрасываться)

Для решения системы воспользуемся функцией numpy.linalg.solve модуля numpy (документация - http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.linalg.solve.html). Функция принимает на вход 2 параметра:

1й - матрица коэффициентов перед переменными

2й - вектор свободных членов

numpy.linalg.solve(M1, v1)

array([ 1. , -0.2])

Обратим внимание, что ответом так же является numpy массив!

при этом порядок следования ответов в массиве соответствует порядку столбцов исходной матрицы. Т.е. на 0 месте находится x=1, т.к. мы в матрице внесли в 0 столбец коэффициенты перед переменной х!

Ответ: (1; -0,2)

Пример 2. Система 4 уравнений

Рассмотрим простую систему из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными: \begin{matrix} A + C = 2 &(4) \\ -A + B - 2C + D = -2 &(5) \\ 4A + C - 2D = 0 &(6) \\ -4A + 4B + D = 5 &(7) \end{matrix}

Для наглядности решения данной системы матричным методом запишем её в таком виде, чтобы каждое уравнение содержало все 4 переменных, и чтобы они занимали в каждой строке одно и то же порядковое место (А - 0, B - 1, C - 2, D - 3):

\begin{matrix} A + 0B + C + 0D = 2 &(8) \\ -A + B - 2C + D = -2 &(9) \\ 4A + 0B + C - 2D = 0 &(10) \\ -4A + 4B + 0C + D = 5 &(11) \end{matrix}

теперь аналогично примеру 1 выпишем матрицу (коэффициенты перед переменными из левой части системы построчно в порядке следования переменных) и вектор (свободные члены из правой части системы):

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}

import numpy # импортируем библиотеку 

M2 = numpy.array([[1., 0., 1., 0.], [-1., 1., -2., 1.], [4., 0., 1., -2.], [-4., 4., 0., 1.]]) # Матрица (левая часть системы)
v2 = numpy.array([2., -2., 0., 5.]) # Вектор (правая часть системы)

numpy.linalg.solve(M2, v2)

array([ 0.,  1.,  2.,  1.])

Ответ: (0; 1; 2; 1)

A = 0, B = 1, C =2, D = 1

Пример 3. Система 3 уравнений (с приведением к линейному виду)

Матричный метод применим только для решения линейных уравнений. Однако иногда можно встретить нелинейные уравнения, легко приводимые к линейной форме, например:

\begin{matrix} 2x_{1}+x_{2}^2+x_{3} = 2 &(12) \\ x_{1}-x_{2}^2 = -2 &(13) \\ 3x_{1}-x_{2}^2+2x_{3} = 2 &(14) \end{matrix}

Можно заметить, что переменная x2 входит во все 3 уравнения только в квадратичной форме. Это означает, что мы можем осуществить замену:

\begin{matrix} x_{2}^2 = a &(15) \end{matrix}

С учётом этой подстановки запишем систему, аналогично примеру 2 с вхождением всех 3 переменных:

\begin{matrix} 2x_{1}+a+x_{3} = 2 &(16) \\ x_{1}-a+0x_{3} = -2 &(17) \\ 3x_{1}-a+2x_{3} = 2 &(18) \end{matrix}

Для новой системы мы уже умеем записывать матрицу (коэффициенты перед переменными из левой части системы) и вектор (свободные члены из правой части):

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

import numpy # импортируем библиотеку 

M3 = numpy.array([[2., 1., 1.], [1., -1., 0.], [3., -1., 2.]]) # Матрица (левая часть системы)
v3 = numpy.array([2., -2., 2.]) # Вектор (правая часть системы)

numpy.linalg.solve(M3, v3)

array([-1.,  1.,  3.])

Мы получили промежуточный результат:

$x_{1}= -1, a= 1, x_{3}= 3,$

или

$x_{1}= -1, x_{2}^2= 1, x_{3}= 3,$

$x_{2}^2=1$ соответствует 2 значениям $x_{2}$: 1 и -1.

Таким образом мы получаем 2 решения нашей системы: $x_{1}= -1, x_{2}= 1, x_{3}= 3,$ и $x_{1}= -1, x_{2}= -1, x_{3}= 3,$

Ответ: (-1; 1; 3) и (-1; -1; 3)

Пример 4. Решение простой задачи с помощью системы линейных уравнений.

Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедиста 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист?

Обозначим за неизвестные x и y скорости велосипедистов.

Путь = скорость * время

Расстояние между велосипедистами = путь 1 велосипедиста + путь 2 велосипедиста

На основании этих простых рассуждений и данных задачи можно записать уравнения:

\begin{matrix} (2.5 + 2)x+2.5y=30 &(19) \\ 3x + (3+2)y=30 &(20) \end{matrix}

или

\begin{matrix} 4.5x+2.5y=30 &(21) \\ 3x + 5y=30 &(22) \end{matrix}

Аналогично примеру 1 легко составим матрицу коэффициентов перед неизвестными (левая часть системы) и вектор со свободными членами (права часть системы):

\begin{pmatrix} 4.5& 2.5 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 30 \\ 30 \end{pmatrix}

import numpy # импортируем библиотеку 

M4 = numpy.array([[4.5, 2.5], [3., 5.]]) # Матрица (левая часть системы)
v4 = numpy.array([30., 30.]) # Вектор (правая часть системы)

numpy.linalg.solve(M4, v4)

array([ 5.,  3.])

Ответ: 5км/ч и 3км/ч

Пример 5. Нахождение уравнения плоскости по точкам, через которые она проходит.

Уравнение плоскости в 3-х мерном пространстве задаётся уравнением: \begin{matrix} z = ax + by + c & (23) \end{matrix} Уравнение плоскости однозначно задаётся 3 точками через которые она проходит.

Таким образом легко понять, что если мы знаем координаты точек, через которые проходит плоскость, то в уравнении (23) у вас 3 переменных: a, b, c. А значения x, y, z нам известны для 3 точек.

Если плоскость проходит через точки (1;-6;1), (0;-3;2) и (-3;0;-1), то мы легко можем найти коэффициенты, подставив значения соответствующих координат для всех 3 точек в уравнение (23) и получив систему из 3 уравнений.

Для точки x = 1, y = -6, z = 1: \begin{matrix} a\cdot 1 + b\cdot (-6) + c = 1 &(24) \end{matrix}

Для точки x = 0, y = -3, z = 2: \begin{matrix} a\cdot 0 + b\cdot (-3) + c = 2 &(25) \end{matrix}

Для точки x = -3, y = 0, z = -1: \begin{matrix} a\cdot (-3) + b\cdot 0 + c = -1 &(26) \end{matrix}

На основании системы уравнений (24), (25), (26) можно записать матрицу коэффициентов перед неизвестными (левая часть матрицы):

\begin{pmatrix} 1& -6 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}

И вектор свободных членов (правая часть): \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}

import numpy # импортируем библиотеку 

M5 = numpy.array([[1., -6., 1.], [0., -3., 1], [-3, 0, 1]]) # Матрица (левая часть системы)
v5 = numpy.array([1., 2., -1.]) # Вектор (правая часть системы)

numpy.linalg.solve(M5, v5)

array([ 2.,  1.,  5.])

Ответ: уравнение искомой плоскости в пространстве задаётся уравнением $z = 2x + y + 5$

Пример 6. Нахождение уравнения параболы по 2 точкам и касательной

Найти уравнение параболы ($f(x) = ax^2 + bx + x & (27)$), проходящей через точки (1,1) и (-1,1) и касающейся биссектрисы 1й координатной четверти.

Как и в предыдущем примере неизвестными для нас являются коэффициенты a, b, c.

Подставив в уравнение параболы (27) значения аргумента (x) и функции (f(x)) получим 2 уравнения:

\begin{matrix} a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c = 1 &(28) \\ a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c = 1 &(29) \end{matrix}

Однако для нахождения 3 неизвестных 2 уравнений мало. Необходимо найти ещё одно из оставшихся условий.

Касание биссектрисы 1й координатной четверти означает, что наша парабола имеет касательную $y = x$. Если посмотреть на условие задачи, то мы увидим, что одна из точек (1, 1) лежит на этой прямой. Это означает, что мы знаем точку касания.

Уравнение прямой, делящей 1-ю координатную четверть пополам (биссектрисы) имеет вид $y = kx \quad (30)$

При этом мы знаем, что угол уравнения касательной (коэффициент k уравнения (30)) равен производной от функции (27) в точке касания.

\begin{matrix} f'(x) = 2ax + bx & (31) \end{matrix}

Подставив значение аргумента (x = 1) в точке касания и коэффициента (k = 1 в качестве производной f'(x))

\begin{matrix} 1 = 2a\cdot1 + b\cdot1 & (32) \end{matrix}

Используя уравнения (28), (29) и (32), запишем полную систему уравнений, которую нам необходимо решить:

\begin{matrix} a\cdot 1 + b\cdot 1 + c \cdot 1 = 1 &(33) \\ a\cdot 1 + b\cdot (-1) + c \cdot 1 = 1 &(34) \\ a\cdot 2 + b\cdot 1 + c \cdot 0 = 1 &(35) \end{matrix}

По привычной уже схеме запишем коэффициенты перед переменными (левую часть системы) в матрицу, а свободные члены (правую часть) в вектор:

\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

import numpy # импортируем библиотеку 

M6 = numpy.array([[1., 1., 1.], [1., -1., 1], [2, 1, 0]]) # Матрица (левая часть системы)
v6 = numpy.array([1., 1., 1.]) # Вектор (правая часть системы)

numpy.linalg.solve(M6, v6)

array([ 0.5, -0. ,  0.5])

Ответ: уравнение искомой параболы задаётся функцией $f(x) = 0.5x^2 + 0.5$

Примечание к примеру 6

На иллюстрации ниже изображены графики параболы и биссектрисы, которой она касается. А так же 2 точки, через которых проходит парабола.

import numpy
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
% matplotlib inline

mpl.rc('font', family='Verdana', size= 16)

w = numpy.linalg.solve(M6, v6) # запишем найденные коэффициенты в переменную
def f(x):
    return w[0]*x**2 + w[1]*x + w[2] # уравнение параболы


fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))

x = numpy.linspace(-2,2,200)
ax.axis([-2., 2., 0., 2.])
ax.grid()
ax.plot(x, f(x), label = 'Парабола')
ax.plot(x, x, label = 'Биссектриса 1й\nкоординатной четверти')
ax.set_xlabel(u'x',{'fontname':'Arial', 'size': 24})
ax.set_ylabel(u'f(x)',{'fontname':'Arial', 'size': 24})
plt.plot([-1, 1], [1, 1], 'ro', label = 'Точки для\nпостроения графика')
ax.annotate('Точка\nкасания', xy=(1., 1.), xytext=(1.5, 0.5),
            arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05),
            )

ax.legend(bbox_to_anchor=(1.6, 1.))

plt.show()